Esperanza matemática o media , varianza y desviación típica

La esperanza matemática 
o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombres de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

 Varianza

La Noción de varianza se suele emplear en el ámbito de la estadística. Se trata de una palabra impulsada por el matemático y científico inglés Ronald Fisher (1890-1962) y sirve para identificar a la media de las desviaciones cuadráticas de una variable de carácter aleatorio, considerando el valor medio de ésta.
            La varianza de las variables aleatorias, por lo tanto, consiste en una medida vinculada a su dispersión. Se trata de la esperanza del cuadrado de la desviación de esa variable considerada frente su media y se mide en una unidad diferente. Por ejemplo: en los casos en que la variable mide una distancia en kilómetros, su varianza se expresa en kilómetros al cuadrado.



La desviación típica o estándar


Uno de los conceptos más importantes relacionados con la varianza es la desviación estándar, también conocida como típica, que representa la magnitud de la dispersión de variables de intervalo y de razón, y resulta muy útil en el campo de la estadística descriptiva. Para obtenerla, simplemente se parte de la varianza y se calcula su raíz cuadrada.

En la práctica, si tenemos los valores (expresados en milímetros) 14mm, 11mm, 10mm, 6mm y 4mm, podemos calcular su promedio sumándolos y dividiendo el resultado por 5, que es la cantidad de elementos. Obtendríamos 9mm. Para conocer la varianza, deberíamos restar cada uno de los valores a la media recién evidenciada, elevar cada resultado al cuadrado (para evitar números negativos que afecten el estudio), sumarlos entre sí y, finalmente, dividir todo por 5. La varianza es 93,8 milímetros cuadrados. Por último, para dar con la desviación estándar, calculamos la raíz cuadrada, lo que nos deja con 9.68mm (nótese que la unidad vuelve a ser milímetros).


Ejemplo


Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y la desviación típica.

Construimos la tabla, teniendo en cuenta los valores que puede tomar la variable Xi obtener cara.

Tenemos tres monedas, el número de caras que podemos obtener será: 0, 1, 2 y 3.
Escribimos el espacio muestral para facilitar el recuento, los casos posibles son 23 = 8
E = { CCC, CCX, CXC, XCC, XCX, XXC, CXX, XXX }

-  La probabilidad de no obtener ninguna cara será obtener tres cruces {XXX} = 1 / 8
-  La probabilidad de obtener una cara será {XCX, XXC, CXX } = 3 / 8
-  La probabilidad de obtener dos caras será {CCX, CXC, XCC } = 3 / 8
-  La probabilidad de obtener tres caras será {CCC} = 1 / 8
                                  Calcular media y desviación típica
sacar cara  xi
probabilidad  pi
xi · pi 
pi · xi2
0
1/8
0
0
1
3/8
3/8
3/8
2
3/8
6/8
12/8
3
1/8
3/8
9/8
1
1,5
3

Media y desviación típica



Propiedades Esperanza Matemática.

Estas propiedades son válidas tanto para variables discretas como continuas, aunque en la mayoría de los casos se realizan con variables discretas; entre las diferentes propiedades se citaran   2 ejemplos:
1-)El valor esperado de una constante es igual a ella misma E(A)=A  siendo una contante, a continuación se resolverán 2 ejemplos para una mayor comprensión:

 = 22 ;  E(A) = 22

= 23 ; E(A )= 23

2)   Si  X , Y son variables aleatorias se cumple lo siguiente: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Esto significa que el valor esperado de la suma de las 2 variables aleatorias es igual a la suma es de sus valores esperados.


Sean  dos variables aleatorias cuya esperanza es E(X) = 5 y E(Y) = 
Calcular E(3X + 5Y + 4)
E(3·5 + 5·2 + 4) = 15 + 10 + 4 = 29

Sean X  dos variables aleatorias cuyos valores esperados son 
 E(X) = 8 y E(Y) = 2
Calcular E(4X + 7Y + 1)
E(4·8 + 7·2 + 1) = 32 + 14 + 1 = 47


3)      El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable:  E(C · X)  =  C · E(X)  a continuación se resolverán  2 ejemplos para una mayor comprensión:
E(8· X) = 8 · E(X)                               E(X) = 1,50
8 · E(X) = 8 · 1,50 = 12

E(7 · X) = 7 · E(X)                               E(X) = 2
7 · E(X) = 7 · 2 = 14

4)      Si  es una variable aleatoria e es una variable aleatoria, el valor esperada del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes.  E(X · Y) = E(X) · E(Y).
E(3.35 · 3,67) = E(3.35) · E(3,67)                             E(X) = 3,35 E(Y) = 3,67
                        = 12.29

 E(1,8 · 1,49) = E(1,8) · E(1,49)                             E(X) = 1,8 E(Y) = 1,49

 Propiedades de la Varianza.

La varianza tiene las siguientes propiedades:
1)      V(C) = 0 La varianza de una constante es cero, la varianza mide la dispersión, evidentemente una constante  no puede tener dispersión  y su varianza es cero.

Siendo el valor de la contante  (C = 5)
V(C) = 0
V(7) = 0

Siendo el valor de la constante (C = 8)
V(C) = 0
V(2) = 0

2)      V(CX) = CV(X) La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la constante  al cuadrado por la varianza de la variable.
  V(C·X) =  CV(X)                                          V (X)=7 ; C=5
             = 5 · V(7)
             = 25 · V(7) 
             = 175
V(C·X) =  CV(X)                                         V(X)=7 ; C=6
             = 6 · V(7)
             = 36 · V(7) 
             = 252


3)      Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras:
            V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variables independientes es igual a cero. Si X e Y son dos variables independientes  Cov(X,Y) = 0 por lo tanto:
           V(X + Y)  =  V(X) + V(Y)
La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

Teniendo los valores  de V(X) = 2,66 ; V(Y) = 4,92
       V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = 2,66 + 4,92 + 2.0
      V(X + Y) = 7,58
Teniendo los valores  de V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57
       V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = 3,87 + 4,57 + 2.0
      V(X + Y) = 8,44

4)      Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras :
            V(X + Y) = V(X) + V(Y)  - 2CoV(X,Y)

Teniendo los valores  de V(X) =3,2; V(Y) = 4,1
       V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = 3,2 + 4,1 - 2.0
      V(X + Y) = 7,3
  Teniendo los valores  de V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5
       V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = 3,5 + 4,5 - 2.0
      V(X + Y) = 8


Propiedades de la Desviación Estándar.

En la desviación estándar se cumplen las mismas propiedades que en la varianza, con la única diferencia es que se utiliza raíz cuadrada para resolver las mismas.
1)      DE(C) =√ 0 La Desviación Estándar de una constante es cero, puesto a que se hace en base a la varianza,  la varianza mide la dispersión, evidentemente una constante  no puede tener dispersión.
 Siendo el valor de la contante  (C = 5)
DE(C) = √0
DE(7) = 0
Siendo el valor de la constante (C = 8)
DE(C) = √0
DE(2) = 0

2)      V(CX) = √CV(X) La raíz cuadrada de la varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la raíz cuadrada de la constante  al cuadrado por la varianza de la variable.
  V(C·X) = √ CV(X)                                          V (X)=7 ; C=5
             =√ 5 · V(7)
             = √25 · V(7) 
             =√ 175 = 13.22
 V(C·X) =  √CV(X)                                         V(X)=7 ; C=6
             = √6 · V(7)
             =√ 36 · V(7) 
             = √252 = 15.874


3)      Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras :
            DE(X + Y) =√ V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variables independientes es igual a cero. Si X e Y son dos variables independientes  Cov(X,Y) = 0 por lo tanto:
           DE(X + Y)  = √ V(X) + V(Y)
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

Teniendo los valores  de V(X) = 2,66 ; V(Y) = 4,92
       DE(X + Y) = √V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
      DE(X + Y) = √2,66 + 4,92 + 2.0
      DE(X + Y) =√ 7.58 = 2,75
 Teniendo los valores  de V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57
       DE(X + Y) = √V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
      DE(X + Y) =√ 3,87 + 4,57 + 2.0
      DE(X + Y) = √8,44 = 2,9051

4)      Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras :
            V(X + Y) = √V(X) + V(Y)  - 2CoV(X,Y)

Teniendo los valores  de V(X) =3,2; V(Y) = 4,1
       V(X + Y) = √V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = √3,2 + 4,1 - 2.0
      V(X + Y) = √ 7,3 = 2,70
Teniendo los valores  de V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5
       V(X + Y) = √V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = √3,5 + 4,5 + 2.0
      V(X + Y) = √8 = 2,8284




Todo comienzo tiene un final.Hasta pronto estadística El mundo mágico del saber matemático



0 Response to " Esperanza matemática o media , varianza y desviación típica"

Publicar un comentario