La esperanza matemática
o valor esperado de una variable
aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso
por el valor de dicho suceso.
Los nombres de esperanza matemática y valor esperado
tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia
promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.
Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es
equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.
Varianza
La Noción de varianza se
suele emplear en el ámbito de la estadística. Se trata de una palabra impulsada
por el matemático y científico inglés Ronald Fisher (1890-1962) y sirve para
identificar a la media de las desviaciones cuadráticas de una variable de
carácter aleatorio, considerando el valor medio de ésta.
La varianza de las variables aleatorias, por lo tanto,
consiste en una medida vinculada a su dispersión. Se trata de la esperanza del
cuadrado de la desviación de esa variable considerada frente su media y se mide
en una unidad diferente. Por ejemplo: en los casos en que la variable mide una
distancia en kilómetros, su varianza se expresa en kilómetros al cuadrado.
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La desviación típica o estándar
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La desviación típica o estándar
Uno de los conceptos más importantes
relacionados con la varianza es la desviación estándar, también conocida como
típica, que representa la magnitud de la dispersión de variables de intervalo y
de razón, y resulta muy útil en el campo de la estadística descriptiva.
Para obtenerla, simplemente se parte de la varianza y se
calcula su raíz cuadrada.
En la práctica, si tenemos los valores (expresados en milímetros) 14mm, 11mm, 10mm,
6mm y 4mm, podemos calcular su promedio sumándolos y dividiendo el resultado
por 5, que es la cantidad de elementos. Obtendríamos 9mm. Para conocer la
varianza, deberíamos restar cada uno de los valores a la media recién
evidenciada, elevar cada resultado al cuadrado (para evitar números negativos
que afecten el estudio), sumarlos entre sí y, finalmente, dividir todo por 5.
La varianza es 93,8 milímetros cuadrados. Por último, para dar con la
desviación estándar, calculamos la raíz cuadrada, lo que nos deja con 9.68mm
(nótese que la unidad vuelve a ser milímetros).
Ejemplo
Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y la desviación típica.
Construimos la tabla, teniendo en cuenta los valores que puede tomar la variable Xi obtener cara.
Tenemos tres monedas, el número de caras que podemos obtener será: 0, 1, 2 y 3.
Escribimos el espacio muestral para facilitar el recuento, los casos posibles son 23 = 8
E = { CCC, CCX, CXC, XCC, XCX, XXC, CXX, XXX }
- La probabilidad de no obtener ninguna cara será obtener tres cruces {XXX} = 1 / 8
- La probabilidad de obtener una cara será {XCX, XXC, CXX } = 3 / 8
- La probabilidad de obtener dos caras será {CCX, CXC, XCC } = 3 / 8
- La probabilidad de obtener tres caras será {CCC} = 1 / 8
Calcular
media y desviación típica
|
||||
sacar cara xi
|
probabilidad pi
|
xi · pi
|
pi · xi2
|
|
0
|
1/8
|
0
|
0
|
|
1
|
3/8
|
3/8
|
3/8
|
|
2
|
3/8
|
6/8
|
12/8
|
|
3
|
1/8
|
3/8
|
9/8
|
|
∑
|
1
|
1,5
|
3
|
|
Propiedades
Esperanza Matemática.
Estas propiedades son
válidas tanto para variables discretas como continuas, aunque en la mayoría de
los casos se realizan con variables discretas; entre las diferentes propiedades
se citaran 2 ejemplos:
1-)El valor esperado de una
constante es igual a ella misma E(A)=A siendo A una
contante, a continuación se resolverán 2 ejemplos para una mayor comprensión:
A = 22 ; E(A)
= 22
A = 23
; E(A )= 23
2) Si X
, Y son variables aleatorias se cumple lo siguiente: E(X + Y)
= E(X) + E(Y) Esto significa que el valor esperado de la
suma de las 2 variables aleatorias es igual a la suma es de sus valores
esperados.
Sean X e Y dos variables aleatorias cuya esperanza es E(X) = 5 y E(Y) = 2
Calcular E(3X + 5Y +
4)
E(3·5 + 5·2 + 4)
= 15 + 10 + 4 = 29
Sean X e Y dos
variables aleatorias cuyos valores esperados son
E(X) = 8 y E(Y)
= 2
Calcular E(4X + 7Y +
1)
E(4·8 + 7·2 + 1)
= 32 + 14 + 1 = 47
3) El
valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es
igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable: E(C
· X) = C · E(X) a continuación se resolverán 2
ejemplos para una mayor comprensión:
E(8· X) = 8 ·
E(X)
E(X) = 1,50
8 · E(X) = 8 · 1,50 = 12
E(7 · X) = 7 ·
E(X)
E(X) = 2
7 · E(X) = 7 · 2 = 14
4) Si X es
una variable aleatoria e Y es una variable aleatoria, el valor
esperada del producto de las variables es igual al producto de los valores
esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean
independientes. E(X · Y) = E(X) · E(Y).
E(3.35 · 3,67) = E(3.35)
·
E(3,67)
E(X) = 3,35 Y E(Y) = 3,67
=
12.29
E(1,8 · 1,49) = E(1,8)
·
E(1,49)
E(X) = 1,8 Y E(Y) = 1,49
Propiedades de la Varianza.
La varianza tiene las
siguientes propiedades:
1) V(C)
= 0 La varianza de una constante es cero, la varianza mide la dispersión,
evidentemente una constante no puede tener dispersión y su varianza
es cero.
Siendo el valor de la
contante (C = 5)
V(C) = 0
V(7) = 0
Siendo el valor de la
constante (C = 8)
V(C) = 0
V(2) = 0
2) V(CX)
= C2 V(X) La varianza del producto de una constante por una
variable, es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la
variable.
V(C·X) = C2 V(X)
V (X)=7 ; C=5
= 52 · V(7)
= 25 · V(7)
= 175
V(C·X) = C2 V(X)
V(X)=7 ; C=6
= 62 · V(7)
= 36 · V(7)
= 252
3) Si
X e Y son variables aleatorias cualquieras:
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
Teniendo en cuenta que la
covarianza de dos variables independientes es igual a cero. Si X e Y son dos
variables independientes Cov(X,Y) = 0 por lo tanto:
V(X + Y) = V(X) + V(Y)
La varianza de la suma de
dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.
Teniendo los valores
de V(X) = 2,66 ; V(Y) = 4,92
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
V(X + Y) = 2,66 + 4,92 + 2.0
V(X + Y) = 7,58
Teniendo los valores
de V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57
V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
V(X + Y) = 3,87 + 4,57 + 2.0
V(X + Y) = 8,44
4) Si
X e Y son variables aleatorias cualquieras :
V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
Teniendo los valores
de V(X) =3,2; V(Y) = 4,1
V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
V(X + Y) = 3,2 + 4,1 - 2.0
V(X + Y) = 7,3
Teniendo los
valores de V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5
V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
V(X + Y) = 3,5 + 4,5 - 2.0
V(X + Y) = 8
Propiedades de la Desviación Estándar.
En la desviación estándar se cumplen las mismas
propiedades que en la varianza, con la única diferencia es que se utiliza raíz
cuadrada para resolver las mismas.
1) DE(C) =√ 0 La
Desviación Estándar de una constante es cero, puesto a que se hace en base a la
varianza, la varianza mide la dispersión, evidentemente una
constante no puede tener dispersión.
Siendo el valor de la contante (C = 5)
DE(C) = √0
DE(7) = 0
Siendo el valor de la constante (C = 8)
DE(C) = √0
DE(2) = 0
2) V(CX) = √C2 V(X)
La raíz cuadrada de la varianza del producto de una constante por una variable,
es igual a la raíz cuadrada de la constante al cuadrado por la varianza
de la variable.
V(C·X) = √ C2 V(X)
V (X)=7 ; C=5
=√ 52 · V(7)
= √25 · V(7)
=√ 175 = 13.22
V(C·X) = √C2 V(X)
V(X)=7 ; C=6
= √62 ·
V(7)
=√ 36
· V(7)
= √252 = 15.874
3) Si X e Y son
variables aleatorias cualquieras :
DE(X + Y) =√ V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variables
independientes es igual a cero. Si X e Y son dos variables independientes
Cov(X,Y) = 0 por lo tanto:
DE(X + Y) = √ V(X) + V(Y)
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza
de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.
Teniendo los valores de V(X) = 2,66 ; V(Y) = 4,92
DE(X + Y) = √V(X)
+ V(Y) + 2CoV(X,Y)
DE(X + Y) = √2,66 + 4,92 + 2.0
DE(X + Y) =√ 7.58
= 2,75
Teniendo los valores de V(X) = 3,87 ; V(Y) =
4,57
DE(X + Y) = √V(X)
+ V(Y) + 2CoV(X,Y)
DE(X + Y) =√ 3,87 + 4,57 + 2.0
DE(X + Y) = √8,44
= 2,9051
4) Si X e Y son
variables aleatorias cualquieras :
V(X + Y) = √V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
Teniendo los valores de V(X) =3,2; V(Y) = 4,1
V(X + Y) = √V(X) +
V(Y) - 2CoV(X,Y)
V(X + Y) = √3,2 + 4,1 - 2.0
V(X + Y) = √ 7,3
= 2,70
Teniendo los valores de V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5
V(X + Y) = √V(X) +
V(Y) - 2CoV(X,Y)
V(X + Y) = √3,5 + 4,5 + 2.0
V(X + Y) = √8 =
2,8284
Todo comienzo tiene un final.Hasta pronto estadística El mundo mágico del saber matemático
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