la distribuciones de probabilidad en el campo de la salud.

Uno de los objetivos de la estadística es el conocimiento cuantitativo de una determinada parcela de la realidad. Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad particular objeto de estudio, partiendo de la premisa de que lo real es siempre más complejo y multiforme que cualquier modelo que se pueda construir. De todas formas, la formulación de modelos aceptados por las instituciones responsables y por los usuarios, permite obviar la existencia del error o distancia entre la realidad y el modelo. Los modelos teóricos a los que se hace referencia se reducen en muchos casos a (o incluyen en su formulación) funciones de probabilidad.
La distribución de probabilidad es para indicar toda la variedad de valores médicos que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Es importante en la medicina porque me permite conocer la frecuencia de las enfermedades, y los valores que me arroja luego de aplicar un experimento.
En el área de la ciencia de la salud las distribuciones de Probabilidad son importantes ua que estas nos ayudan a representar teóricamente y de forma simplificada un fenómeno real, conocer la probabilidad de ocurrencia de ciertos sucesos y se puede conocer el comportamiento de una variable aleatoria. Esto nos facilita al momento de  la toma de decisiones y la precisión de hechos que puedan ocurrir.

Las distribuciones de probabilidad en el área de la salud sirven para conocer la probabilidad de que un evento (enfermedad) ocurra en el futuro, la efectividad de un medicamento o la falla de el mismo, esto es fundamental debido a que se pueden tomar las previsiones necesarias ya que se conoce todos los posibles resultados de dicho evento.
Podeos encontrar distintas distribuciones de probabilidad



Experimento de Bernoulli: es un experimento aleatorio en el que sólo se pueden obtener dos resultados (habitualmente etiquetados como éxito y fracaso).

 Un médico realiza una toma de  muestra de sangre en un paciente de 13 años de edad para confirmar  un posible caso de dengue. Considerando el resultado positivo como un fracaso y el resultado negativo como éxito.


Experimento Binomial
Se realiza una prueba de sangre en 10 hombres de 24 – 30 años de edad que han tenido problemas cardiacos. Considerando el resultado positivo como un éxito y el resultado negativo como un fracaso.

Ejemplo:

Una joven estudiante de 20 años de edad necesita saber si se encuentra embarazada, ya que tiene ausencia de la menstruación, se le realiza un examen de orina, donde los valores pueden ser positivo o negativo. Dando como resultado positivo, la joven ya puede estar segura que tendrá un bebe, mientras que la Doctora tratante obtuvo un diagnostico exitoso. Según la distribución de Bernoulli que tomo una probabilidad de éxito y una de fracaso


Esperanza matemática o media , varianza y desviación típica

La esperanza matemática 
o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombres de esperanza matemática y valor esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

 Varianza

La Noción de varianza se suele emplear en el ámbito de la estadística. Se trata de una palabra impulsada por el matemático y científico inglés Ronald Fisher (1890-1962) y sirve para identificar a la media de las desviaciones cuadráticas de una variable de carácter aleatorio, considerando el valor medio de ésta.
            La varianza de las variables aleatorias, por lo tanto, consiste en una medida vinculada a su dispersión. Se trata de la esperanza del cuadrado de la desviación de esa variable considerada frente su media y se mide en una unidad diferente. Por ejemplo: en los casos en que la variable mide una distancia en kilómetros, su varianza se expresa en kilómetros al cuadrado.



La desviación típica o estándar


Uno de los conceptos más importantes relacionados con la varianza es la desviación estándar, también conocida como típica, que representa la magnitud de la dispersión de variables de intervalo y de razón, y resulta muy útil en el campo de la estadística descriptiva. Para obtenerla, simplemente se parte de la varianza y se calcula su raíz cuadrada.

En la práctica, si tenemos los valores (expresados en milímetros) 14mm, 11mm, 10mm, 6mm y 4mm, podemos calcular su promedio sumándolos y dividiendo el resultado por 5, que es la cantidad de elementos. Obtendríamos 9mm. Para conocer la varianza, deberíamos restar cada uno de los valores a la media recién evidenciada, elevar cada resultado al cuadrado (para evitar números negativos que afecten el estudio), sumarlos entre sí y, finalmente, dividir todo por 5. La varianza es 93,8 milímetros cuadrados. Por último, para dar con la desviación estándar, calculamos la raíz cuadrada, lo que nos deja con 9.68mm (nótese que la unidad vuelve a ser milímetros).


Ejemplo


Se lanzan tres monedas y se cuenta el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades, represéntala gráficamente y calcula la media y la desviación típica.

Construimos la tabla, teniendo en cuenta los valores que puede tomar la variable Xi obtener cara.

Tenemos tres monedas, el número de caras que podemos obtener será: 0, 1, 2 y 3.
Escribimos el espacio muestral para facilitar el recuento, los casos posibles son 23 = 8
E = { CCC, CCX, CXC, XCC, XCX, XXC, CXX, XXX }

-  La probabilidad de no obtener ninguna cara será obtener tres cruces {XXX} = 1 / 8
-  La probabilidad de obtener una cara será {XCX, XXC, CXX } = 3 / 8
-  La probabilidad de obtener dos caras será {CCX, CXC, XCC } = 3 / 8
-  La probabilidad de obtener tres caras será {CCC} = 1 / 8
                                  Calcular media y desviación típica
sacar cara  xi
probabilidad  pi
xi · pi 
pi · xi2
0
1/8
0
0
1
3/8
3/8
3/8
2
3/8
6/8
12/8
3
1/8
3/8
9/8
1
1,5
3

Media y desviación típica



Propiedades Esperanza Matemática.

Estas propiedades son válidas tanto para variables discretas como continuas, aunque en la mayoría de los casos se realizan con variables discretas; entre las diferentes propiedades se citaran   2 ejemplos:
1-)El valor esperado de una constante es igual a ella misma E(A)=A  siendo una contante, a continuación se resolverán 2 ejemplos para una mayor comprensión:

 = 22 ;  E(A) = 22

= 23 ; E(A )= 23

2)   Si  X , Y son variables aleatorias se cumple lo siguiente: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Esto significa que el valor esperado de la suma de las 2 variables aleatorias es igual a la suma es de sus valores esperados.


Sean  dos variables aleatorias cuya esperanza es E(X) = 5 y E(Y) = 
Calcular E(3X + 5Y + 4)
E(3·5 + 5·2 + 4) = 15 + 10 + 4 = 29

Sean X  dos variables aleatorias cuyos valores esperados son 
 E(X) = 8 y E(Y) = 2
Calcular E(4X + 7Y + 1)
E(4·8 + 7·2 + 1) = 32 + 14 + 1 = 47


3)      El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable:  E(C · X)  =  C · E(X)  a continuación se resolverán  2 ejemplos para una mayor comprensión:
E(8· X) = 8 · E(X)                               E(X) = 1,50
8 · E(X) = 8 · 1,50 = 12

E(7 · X) = 7 · E(X)                               E(X) = 2
7 · E(X) = 7 · 2 = 14

4)      Si  es una variable aleatoria e es una variable aleatoria, el valor esperada del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes.  E(X · Y) = E(X) · E(Y).
E(3.35 · 3,67) = E(3.35) · E(3,67)                             E(X) = 3,35 E(Y) = 3,67
                        = 12.29

 E(1,8 · 1,49) = E(1,8) · E(1,49)                             E(X) = 1,8 E(Y) = 1,49

 Propiedades de la Varianza.

La varianza tiene las siguientes propiedades:
1)      V(C) = 0 La varianza de una constante es cero, la varianza mide la dispersión, evidentemente una constante  no puede tener dispersión  y su varianza es cero.

Siendo el valor de la contante  (C = 5)
V(C) = 0
V(7) = 0

Siendo el valor de la constante (C = 8)
V(C) = 0
V(2) = 0

2)      V(CX) = CV(X) La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la constante  al cuadrado por la varianza de la variable.
  V(C·X) =  CV(X)                                          V (X)=7 ; C=5
             = 5 · V(7)
             = 25 · V(7) 
             = 175
V(C·X) =  CV(X)                                         V(X)=7 ; C=6
             = 6 · V(7)
             = 36 · V(7) 
             = 252


3)      Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras:
            V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variables independientes es igual a cero. Si X e Y son dos variables independientes  Cov(X,Y) = 0 por lo tanto:
           V(X + Y)  =  V(X) + V(Y)
La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

Teniendo los valores  de V(X) = 2,66 ; V(Y) = 4,92
       V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = 2,66 + 4,92 + 2.0
      V(X + Y) = 7,58
Teniendo los valores  de V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57
       V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = 3,87 + 4,57 + 2.0
      V(X + Y) = 8,44

4)      Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras :
            V(X + Y) = V(X) + V(Y)  - 2CoV(X,Y)

Teniendo los valores  de V(X) =3,2; V(Y) = 4,1
       V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = 3,2 + 4,1 - 2.0
      V(X + Y) = 7,3
  Teniendo los valores  de V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5
       V(X + Y) = V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = 3,5 + 4,5 - 2.0
      V(X + Y) = 8


Propiedades de la Desviación Estándar.

En la desviación estándar se cumplen las mismas propiedades que en la varianza, con la única diferencia es que se utiliza raíz cuadrada para resolver las mismas.
1)      DE(C) =√ 0 La Desviación Estándar de una constante es cero, puesto a que se hace en base a la varianza,  la varianza mide la dispersión, evidentemente una constante  no puede tener dispersión.
 Siendo el valor de la contante  (C = 5)
DE(C) = √0
DE(7) = 0
Siendo el valor de la constante (C = 8)
DE(C) = √0
DE(2) = 0

2)      V(CX) = √CV(X) La raíz cuadrada de la varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la raíz cuadrada de la constante  al cuadrado por la varianza de la variable.
  V(C·X) = √ CV(X)                                          V (X)=7 ; C=5
             =√ 5 · V(7)
             = √25 · V(7) 
             =√ 175 = 13.22
 V(C·X) =  √CV(X)                                         V(X)=7 ; C=6
             = √6 · V(7)
             =√ 36 · V(7) 
             = √252 = 15.874


3)      Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras :
            DE(X + Y) =√ V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
Teniendo en cuenta que la covarianza de dos variables independientes es igual a cero. Si X e Y son dos variables independientes  Cov(X,Y) = 0 por lo tanto:
           DE(X + Y)  = √ V(X) + V(Y)
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

Teniendo los valores  de V(X) = 2,66 ; V(Y) = 4,92
       DE(X + Y) = √V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
      DE(X + Y) = √2,66 + 4,92 + 2.0
      DE(X + Y) =√ 7.58 = 2,75
 Teniendo los valores  de V(X) = 3,87 ; V(Y) = 4,57
       DE(X + Y) = √V(X) + V(Y) + 2CoV(X,Y)
      DE(X + Y) =√ 3,87 + 4,57 + 2.0
      DE(X + Y) = √8,44 = 2,9051

4)      Si  X e Y son variables aleatorias cualquieras :
            V(X + Y) = √V(X) + V(Y)  - 2CoV(X,Y)

Teniendo los valores  de V(X) =3,2; V(Y) = 4,1
       V(X + Y) = √V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = √3,2 + 4,1 - 2.0
      V(X + Y) = √ 7,3 = 2,70
Teniendo los valores  de V(X) = 3,5 ; V(Y) = 4,5
       V(X + Y) = √V(X) + V(Y) - 2CoV(X,Y)
      V(X + Y) = √3,5 + 4,5 + 2.0
      V(X + Y) = √8 = 2,8284




Todo comienzo tiene un final.Hasta pronto estadística El mundo mágico del saber matemático



Ejercicios de probabilidad en la salud

1.)La prevalencia de la diabetes es del 4%. La glucemia basal diagnóstica correctamente
el 95% de los diabéticos, pero da un 2% de falsos positivos. Diagnosticada una persona
¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea diabética?
Solución
Sea D el suceso de tener diabetes, °D el suceso de no tenerla y Gl+ el suceso de dar
Positivo en la prueba de la glucemia basal. Los datos del problema nos dicen que:
P(D) = 0,04
P(°D) = 0,96
P(Gl+ / D) = 0,95
P(Gl+ / °D) = 0,02
Entonces el teorema de Bayes, escrito en los términos de este problema nos dice que:

P (D/Gl+)=                      P(Gl+ / D)* P (D)
                       P (Gl+ / D)* P (D) + P (Gl+ / °D)* P(°D)

Sustituyendo por los valores numéricos

P (D/Gl+)=             0,95* 0,04                             =0,664
                        0,95* 0,04+ 0,02* 0,96


La probabilidad de que realmente sea diabética es de 0.0664

2.)     En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.
a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:



b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

 


3.) Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:

a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino
b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.

SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales
Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios
Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas
Suceso H: pacientes de género masculino


a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:
 

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:




Relación de la probabilidad con la salud

La importancia de la probabilidad radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta posible los imponderables debidos al azar en los más variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana.

La importancia esencial de la aplicación de los métodos de cálculo de la probabilidad reside en su capacidad para estimar o predecir eventos (enfermedades, virus, epidemias). Así que necesitan una información clara, verdadera y justificada que los guie por el camino correcto, al momento de escoger el mejor tratamiento para una enfermedad, reconocer los síntomas característicos de patologías, para así encontrarles cura e identificar el porqué de las enfermedades. Todo esto se logra gracias al uso de la probabilidad, porque siendo un método que nos permite analizar datos verdaderos, que se obtienen de un riguroso proceso de estudio comparativo y podemos escoger lo mejor para los pacientes, satisfaciendo sus necesidades.

La probabilidad, en relación con las ciencias de la salud, mide la frecuencia con la que ocurre un resultado, para sacar conclusiones acerca de experimentos realizados, como el estudio dela eficacia de los fármacos y el aclara miento de los factores de riesgo de los mismos. La probabilidad es un elemento indispensable para los profesionales, asimismo permite, no solo tener fundamentos lógicos y creíbles acerca de enfermedades, fármacos, diagnósticos etc. Sino también que nos sirve para llevar un control de enfermedades contagiosas y a la vez prevenirlas. Por otra parte la probabilidad ha evitado muchas muertes y desastres en todos los campos de las ciencias de la salud, así mismo como participan en el diario vivir de todos los profesionales de este campo, para hacerlos excelentes en su trabajo.

Ejemplo
Cuando un médico ve a un paciente y le solicita un estudio diagnóstico, debe pensar para qué lo pide y de qué manera el resultado cambiará el diagnóstico o la conducta a seguir. El impacto que la nueva información produce en la modificación del juicio clínico depende de la probabilidad asignada antes de conocerla. En otras palabras, de lo que se ha dado en llamar probabilidad previa o probabilidad pre-prueba

La elección dependerá de la probabilidad que el médico le adjudica a su hipótesis. Si ésta es muy baja, lo más sensato es no hacer nada y si ésta es muy alta, considerar directamente la administración de un tratamiento